潮科技 | 快速入门量子力学,看这篇就够啦!
阅读 · 发布日期 2018-10-08 · 金人网络如果问20世纪物理学最伟大的成就有哪些,量子力学可以毫无争议地进入榜单。然而,它反直觉的结论和晦涩的数学表达使得人们对它望而生畏。
著名物理学家理查德·费曼曾经说过:“我想我可以肯定地说,没人真正理解量子力学。”今天,笔者将从一个比较浅显的角度,带大家走进量子力学的大门,了解一些量子力学的基本概念和结论。
理查德·费曼
说起量子力学,不得不提波动力学的创始人薛定谔。在法国物理学家德布罗意物质波理论的基础上,薛定谔创立了波动力学理论。它和海森堡的矩阵力学等价,是量子力学的两种表现形式。
1905年,爱因斯坦曾经提出光在某些情况下也可以表现得和粒子一样,而在其它情况下则依然表现出波动性,这就是光的波粒二象性。受此启发,德布罗意认为,其它常见的粒子,如电子、原子、分子等也可以表现出波粒二象性,它们对应的波被称作物质波。
我们都知道,一般的机械波或者电磁波,都可以用数学来描述。我们用一个波动方程来描述某个波在空间和时间上的变化,而这个方程的解——波函数,则表示了每个时刻波的形状。
一个常见的机械波
如果德布罗意的预言是正确的,那么对于那些物质波,也应该有相应的波动方程与之对应。薛定谔就提出了这样的一个波动方程,也就是大名鼎鼎的薛定谔方程。
薛定谔方程
这个方程和普通的波动方程不大一样。你可能会问薛定谔是如何提出这个方程的,但费曼却认为这个问题是徒劳的:“我们可以从哪里得到薛定谔方程?不可能从你知道的任何东西中得到它。它来源于薛定谔的思想。”
薛定谔方程的解被称为波函数,它可以告诉我们关于正在考察的量子体系的一切。但是这个“一切”究竟包括什么?
举个例子,我们假设有一个粒子在一个封闭的盒子里运动,在给定的边界条件下求解这个系统的薛定谔方程,得到相应的波函数,这个波函数并没有告诉我们这个粒子在某个时间点所处的确切位置。当然,这并不奇怪,因为粒子也具有波动性,要说一个波存在于某一个确定的点、有一个确定的轨迹显然是不可能的。
那么这个波函数是描述出了一个波的形状吗?就像我们求解绳子上的波动方程可以知道每一刻绳子的形状一样?答案显然也并非如此。还是那句话,粒子具有波粒二象性,并不是纯粹的波动性。
那么这里究竟是怎么回事?
氢原子电子的波函数和不同轨道的概率密度分布图
在我们继续往下讨论之前,请允许我向你保证,薛定谔方程绝对是历史上最成功的方程之一。它的预演已经得到了很多次的验证。所以尽管它看上去是那么的奇怪和陌生,人们依然承认它的正确性。
回到我们刚刚讨论的波函数,在任一时刻t,盒子内的任一位置x,波函数给你的是一个确定的数值,而且这个数通常是复数。这个数究竟意味着什么?1926年,物理学家马克斯·玻恩给出了解释:这个复数的模的平方,代表了t时刻你在x这点找到这个粒子的概率密度。
为什么会是概率?因为它是一个微观粒子,而不是一个宏观的台球,不遵循经典的物理定律,它的运动没有确定的轨迹。当我们打开盒子观测时,我们一定会在某一个点找到它,但我们无法预测这个点究竟在哪里,我们能知道的仅仅只有概率。
这便是量子力学第一个反直觉的结论:在这个世界的微观层面,并不像宏观层面那般“确定一定以及肯定”。
第二个反直觉的结论紧接着就来了。刚刚我们还说,如果打开盒子观察,我们总能在某个点找到那个粒子。那如果我们不打开盒子呢?这个粒子在哪里?答案就是这个粒子在波函数允许它存在的盒子里的任何地方。
薛定谔和他那只最著名的“薛定谔的猫”
这并不是一个天方夜谭的脑洞,这个结论依然可以从薛定谔方程中得到。
假设你已经找到了一个波函数,它是这个薛定谔方程的解,并且描述了这个粒子可能存在于盒子中的某些位置。现在可能还有另一个波函数,它也是这个薛定谔方程的解,但它描述了这个粒子可能存在于盒子的其它位置。
如果你把这两个波函数做线性的叠加,你会发现叠加后的新波函数也是这个方程的解。这表示从某种意义上来说,这个粒子可能同时存在于这两个波函数所描述的位置——这就是所谓的量子叠加态。
当然,在现实中,但凡我们打开盒子观察,粒子只会在一个位置出现,叠加态会消失,没有人能同时在几个地方看到同一个粒子。为什么所谓的观察或是测量会导致叠加态的消失呢?这个问题至今还没有答案。
有人认为波函数在观察中通过某种机制坍缩到了某一个特定的状态,还有人认为现实世界在测量的那一刻分裂成了不同的分支,测量者只能看到众多可能的结果之一。总而言之,这个问题现在还没有定论。
从薛定谔方程中可以得到的结论不止于此。
另一个著名的结论就是海森堡不确定性原理。这个原理告诉我们,你永远不能同时测准一个粒子的位置和动量。
海森堡不确定性原理
如果你位置测量得越精确,那么动量的误差范围就越大;如果你动量测量得越精确,那么位置的误差范围就越大。两者不确定度的乘积一定会大于某个确定的值。这并不是你测量工具不够先进导致了,这是量子力学薛定谔方程的必然结果。
除了位置和动量,时间和能量也是不能被同时精确测量的。这表示当时间的测量精度足够高时,能量将有很大很大的不确定范围,这便允许粒子在很短的时间内有一个很高的能量涨落,从而越过一些原本不能越过的势垒,实现隧穿,而这个能量似乎没有任何来源,看上去与经典的能量守恒相违背(事实上并不违背,感兴趣的读者可以自行查阅相关文献)。
除了最简单的单粒子系统,波函数还可以描述多粒子的体系。在这种情况下,波函数还能表现出一个奇异的性质——量子纠缠。
当多粒子体系的波函数不能分解为多个单粒子波函数的简单叠加时,粒子间会发生纠缠,一个粒子的状态改变会导致其它粒子的状态也随之改变,这种改变不受时间和空间的限制,被爱因斯坦称为“幽灵般的超距作用”。利用这种特性,量子保密通信成为了可能。
当然,量子力学的内容远远不止这些,上面提到的概念仅仅是冰山一角。想要系统的学习量子力学,还是需要借助数学的工具。本文只是简单介绍了量子力学中一些最基本的内容,帮助大家构建起关于量子力学的一个最基本的图像。不知道在笔者啰嗦这么多之后,你对量子力学的概念是更清楚了呢,还是更糊涂了呢?
原文链接:
https://plus.maths.org/content/ridiculously-brief-introduction-quantum-mechanics